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Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

S f ( N ) = ∑ ∑ 1 ≤ ≤ n ≤ ≤ N e ( f ( n ) ) {\displaystyle S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)}

für ein N ∈ ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , wobei f : [ 1 , N ] → → R {\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} } eine (üblicherweise glatte) Funktion und e ( x ) := e 2 π π i x {\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}} ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist f {\displaystyle f} ein reelles Polynom, so bezeichnet man S f ( N ) {\displaystyle S_{f}(N)} auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.cite-ref-1[1]

• Eigenschaften

• Komplexe Verallgemeinerung

• Geschichte

• Literatur

• Einzelnachweise

Die Funktion e ( x ) {\displaystyle e(x)} nennt man additiver Charakter auf R {\displaystyle \mathbb {R} } , f {\displaystyle f} nennt man Amplitudenfunktion und N {\displaystyle N} Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

S f ( N , M ) := ∑ ∑ M < n ≤ ≤ N + M e ( f ( n ) ) = ∑ ∑ 1 ≤ ≤ n ≤ ≤ N e ( f ( n + M ) ) {\displaystyle S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)}

notiert, wobei f {\displaystyle f} nun auf dem Interval [ M + 1 , M + N ] {\displaystyle [M+1,M+N]} definiert sein muss.

Exponentialsummen können für eine reelle Folge ( a n ) 1 ≤ ≤ n ≤ ≤ N {\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}} auch auf

∑ ∑ 1 ≤ ≤ n ≤ ≤ N a n e ( f ( n ) ) {\displaystyle \sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)}

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition der Exponentialsumme mit einer komplexen Funktion g : [ 1 , N ] → → C {\displaystyle g:[1,N]\to \mathbb {C} } , denn es gilt

e ( g ( n ) ) = e 2 π π i g ( n ) = e 2 π π i Re ⁡ ⁡ ( g ( n ) ) − − 2 π π Im ⁡ ⁡ ( g ( n ) ) {\displaystyle e(g(n))=e^{2\pi ig(n)}=e^{2\pi i\operatorname {Re} (g(n))-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}}

und somit gilt

a n = e − − 2 π π Im ⁡ ⁡ ( g ( n ) ) . {\displaystyle a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}.}

Noch allgemeiner definiert man

S Φ Φ , F ( N 1 ; … … ; N r ) = ∑ ∑ 1 ≤ ≤ x 1 ≤ ≤ N 1 ⋯ ⋯ ∑ ∑ 1 ≤ ≤ x r ≤ ≤ N r Φ Φ ( x 1 , … … , x r ) e ( F ( x 1 , … … , x r ) ) {\displaystyle S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)}

für eine beliebige komplex-wertige Funktion Φ Φ {\displaystyle \Phi } und eine reell-wertige Funktion F {\displaystyle F} .cite-ref-2[2]

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1).cite-ref-3[3] 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.cite-ref-4[4]

1921cite-ref-5[5] und 1922cite-ref-6[6] veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935cite-ref-7[7] und 1936cite-ref-8[8] veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.cite-ref-9[9] Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen.cite-ref-10[10]cite-ref-11[11] Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

• Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.

• Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983.

cite-note-11. ↑ B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

cite-note-22. ↑ A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

cite-note-33. ↑ Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352.

cite-note-44. ↑ Hermann Weyl: Zur Abschatzung von ζ ζ ( 1 + t i ) {\displaystyle \zeta (1+t\mathrm {i} )} . In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101.

cite-note-55. ↑ J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org).

cite-note-66. ↑ J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035.

cite-note-77. ↑ I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530.

cite-note-88. ↑ I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.

cite-note-99. ↑ Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.

cite-note-1010. ↑ I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.

cite-note-1111. ↑ I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.